الرئيسية
أحدث الصور
مروه ليزر الثلاثاء أغسطس 31, 2010 5:27 amانتشار الحزم الموجية
THE PROPAGATION OFWAVE PACKETS
نود ،f (x) لنتحصل على دالة eikx بعدما درسنا تراكب موجات من نوع
الآن مناقشة كيفية إنتشار هذه الموجات؟ بلا شك إن انتشار حزمة موجية يعتمد
على إنتشار كل من الموجات المكونة لها. فلو أخذنا موجة تتغير مكانياً على
على الزمن). هذه t , y بينما لا تعتمد الموجة من حيث الإحداثيات ) X محور
يمكن كتابة هذه الموجات كدالة ،plane wanes الموجات تسمى موجات مستوية
بالصيغة. X والموجة t في الزمن
eiuv - iwt ...... (2-9)
حيث
l
D
D
2
2
=
=
k
w v
(2- بالتعويض في ( 9
................(2 10) 2 2 2 ( )
= -
v- i vt i v - vt ei e D
D D
D
l
l لو أخذنا كحالة خاصة؛ إنتشار موجات الضوء في الفضاء حيث
v= c
.(2- للضوء، بالتعويض في ( 10
( ) ( ) .................(2 12) 2 ( ) 2 = = - -
- -
t i v ct ik v ct i v c e l l e l e
D
D
من هذا النوع من الموجات، فبعد g (k) خذ الآن تراكب الموجات سعتها
t مرور زمن قدره
f (x t) du g (u)eiu (v ct) eik (v ct)
1 = - = -
¥
-¥
ò
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
- ٥٣ -
لها نفس الشكل الذي بدأت به قبل الانتشار ما f (x – ct) إن هذه الدالة
أصبح الآن متركز (أو متحيز) عند X عدا أن موقعها بدلاً من أن يكون
v =ctÜv -ct =o
هذا يعني أن حزم الضوء الموجية تنتشر في الفضاء بلا تشويه.
Thus the wave packet go light waves propagates, without any
distortion, with velocity, the velsal'y of light.
ولكن الذي يعنينا هنا انتشار موجات، يفترض أنها تُعبر عن جسيمات، في
هذه الحالة لن نستطيع استخدام العلاقة.
w = kc ... (2-13)
W (k) = kc
لاحظ هذه العلاقة صحيحة فقط في حالة انتشار حزمة ضوء موجية في
الفضاء. ولكي تنطبق دراستنا على انتشار حزمة موجية (جسيم) يلزم استخدام
w =(k)¹ kc or kv حيث w (k) العلاقة العلامة ل
2) بالصيغة. - في هذه الحالة نعيد كتابة معادلة ( 11
ò = -
-
ik (v ct)
1 f (x t) dk g (k) e
ik (v ct)
لتصبح في حالة جسم حر الحركة
=dk g(k) eikv - iw (k)t ..........(2 -14)
ولكن خذ ،w (k) لاحظ أننا لم نعرف بعد الصيغة الحقيقية لطبيعة الدالة
.u في فضاء k° الآن حزمة موجية متمركزة ومتحبزة جداً حول
ستكون كبيرة. هذا قد لا يعني أن g (k)=e-α(k-k° ) في العلاقة 2 a هذا يعني أن
ولكن هذا التقريب سيسهل حساباتنا. v ستكون متحبزة في فضاء f (x)
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
- ٥٤ -
لا w (k) مع افتراض أن k° 2) متمركز حول - بما أن التكامل في ( 14
.k تتغيره بشدة مع تغير
) ............(2 15)
dk
(k k ) (d w(k)
2
) 1
dk
w(k) w(k ) (k k ) (dw(k) 2 k
2
2
k @ + - + - -
° ° ° ° °
)k = k° الحد الثاني .k ثابت لأنه لا يعتمد على w (k° ) الحد الأول
dk
يمثل سرعة (dw
كما شرحنا في التمهيد- هي السرعة التي تسير -group velocity المجموعة
بها الحزمة الموجية.
(2-16)
) β
dk
(d w
2
1
and
( )
2 k k
2
=
Þ =
= °
= ° vg
dk
dw
k k
بافتراض أن:
dk dk
k k k
1
1
Þ =
= - °
فإن الحزمة الموجية تعتمد على الزمن بالصيغة.
ò
¥
-¥
úû ù
êë é
= - + ° - ° + + 1 αk12 i (k1 k ) v i w (k ) k1vg k12β t
1 f (x t) dk e e
خذ الحدود الثابتة خارج التكامل.
ikov iw(k )t 1 αk12 ik1(v vgt) ik12βt
αk12 ik1v. ik1vgt. ik12βt
ik v iw(k )t dk1
e dk e e e
e e . e e e
- - -
¥
-¥
- °
- - -
¥
-¥
° - °
= ò
ò
=
........(2-17)
وبنفس الطريقة التي أجريناها في الحالة الأولى، يمكن عمل التكامل عن
طريق إكمال المربع في الأس، خذ الأس فقط.
e αk12 ik1 (v μgt) ik12βt e (α iβ t ) k12 ik1 (v μgt) - + - - = - + + -
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
- ٥٥ -
عامل مشترك. -(α + iβ t) خذ
ú ú
û
ù
ê ê
ë
é
=
-
- + -
= (α i βt )
1 (v νgt) (α iβ t) k12 ik
e
للحصول على مربع كامل نطرح ونضيف الحد.
4(α iβ t)
(v ν t)2
g
+
-
4(α iβ t)
t)2 ( x vg
4(α iββ)
t)2 (x vg
α iββ
12 iu1(u vgt) (α iβ t) u
e
+
-
-
+
-
+
ú ú ú
û
ù
ê ê ê
ë
é
+
-
- + -
خذ هذه الإشارة مشترك مع الحد الأول
e ............(2 18)
e
(α iβ t)
t)2 ( x vg
4
1
2
2( α iβ t
1 i (u vgt) (α iβ t) k
4(α iβ t)
t)2 ( x vg
4 (α iββ)
t)2 (u vg
α iβ t
12 ik1(u vgt) (α iβ t) k
-
Þ
+
-
+
ú ú
û
ù
ê ê
ë
é
+
-
- + -
+
-
-
ú ú ú
û
ù
ê ê ê
ë
é
+
-
-
+
-
- + -
2) نتحصل على: - 2) في ( 17 - بتعويض ( 18
2(α β2t2/ αα(α2 β2t 2)
t)2 (v ug
2 2 2
)
α2 β2t2
( 2α
2
t)2 (v ug
4 (α iβ t)
t)2 ( v ug
4(α iβ t)
t)2 (v ug
1
*
1
2
1
4 (α iβ t)
t)2 (x ug
i (u x w(k ) t
1
2
2( )
1 ( ) ( )
4 ( ) 1
( )2
( ( )
4( )
( )2
2
2( )
1 ( ) ( )
( ( ) ) 1
1
e
(α β t )
1. e
(α iβ t ) (α iβ t)
f (x t) f (n t)f (x t) e .e
(α iβ t)
f (x t) e e
( )
+ +
-
-
+
-
-
-
-
-
+
-
-
°
+
- -
° - °
ú úû
ù
ê êë
é
+
-
¥ - + -
-¥
+
-
-
° - °
¥
-¥
+
-
-
ú ú
û
ù
ê ê
ë
é
=
-
- + -
° - °
=
úû
ù
êë
é
+ ú
ú
ú
û
ù
ê ê ê
ë
é
=
+ -
= =
+
=
=
=
ò
ò
D
D
D D
D
14444244443
14243
i t
i x ugt
i t k
i t
x ygt
i k x w k t
ابت ھذا الحد ثابت
i t
x vgt
i t
v gt
i t k
i k x w k t
e e dk e
f x t e dk e e
a b
a b
a b
a b a b
m
a b
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
- ٥٦ -
. a بقسمة الأس في البسط والمقام على
(2- 2) ب ( 5 - بمقارنة الصيغة في ( 19
ïþ
ïý ü
ïî
ïí ì
=
-
2α
v2
2 e
α
f ( x ) D
a و (v-ug t) 2) تغيرت ل - في ( 5 v نجد أن هناك تماثل مع ملاحظة أن
α تحولت ل
α β t
2 2
+
ولهذا فإن 2
1 ولكن عرض ug تمثل حزمة موجية تسير بسرعة f (x t )
.(2- هذه الحزمة غير محدد ولكن يتغير مع الزمن، لاحظ أن عرض الدالة ( 19
) ...............(2 20)
α
Δv 8α (1 β t
or
Δv 2.Δv 2. 2(α β t /αα
2
1
2
2 2
2 2
= + -
= = + °
2) يتضح أن عرض الدالة يزداد مع الزمن أي أن الدالة - من المعادلة ( 20
t = تنبسط مع مرور الزمن وذلك مقارنة بعرضها عند 0
Δv = ( t = 0) = 8α
2) إن معدل - أما عند أي زمن آخر فإن عرض الدالة يعطي بالصيغة ( 20
كبيرة أي إذا كانت الدالة منبسطة a الانبساط في الدالة سيكون صغيراً إذا كانت
كثيراً عند البداية.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
THE PROPAGATION OFWAVE PACKETS
نود ،f (x) لنتحصل على دالة eikx بعدما درسنا تراكب موجات من نوع
الآن مناقشة كيفية إنتشار هذه الموجات؟ بلا شك إن انتشار حزمة موجية يعتمد
على إنتشار كل من الموجات المكونة لها. فلو أخذنا موجة تتغير مكانياً على
على الزمن). هذه t , y بينما لا تعتمد الموجة من حيث الإحداثيات ) X محور
يمكن كتابة هذه الموجات كدالة ،plane wanes الموجات تسمى موجات مستوية
بالصيغة. X والموجة t في الزمن
eiuv - iwt ...... (2-9)
حيث
l
D
D
2
2
=
=
k
w v
(2- بالتعويض في ( 9
................(2 10) 2 2 2 ( )
= -
v- i vt i v - vt ei e D
D D
D
l
l لو أخذنا كحالة خاصة؛ إنتشار موجات الضوء في الفضاء حيث
v= c
.(2- للضوء، بالتعويض في ( 10
( ) ( ) .................(2 12) 2 ( ) 2 = = - -
- -
t i v ct ik v ct i v c e l l e l e
D
D
من هذا النوع من الموجات، فبعد g (k) خذ الآن تراكب الموجات سعتها
t مرور زمن قدره
f (x t) du g (u)eiu (v ct) eik (v ct)
1 = - = -
¥
-¥
ò
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
- ٥٣ -
لها نفس الشكل الذي بدأت به قبل الانتشار ما f (x – ct) إن هذه الدالة
أصبح الآن متركز (أو متحيز) عند X عدا أن موقعها بدلاً من أن يكون
v =ctÜv -ct =o
هذا يعني أن حزم الضوء الموجية تنتشر في الفضاء بلا تشويه.
Thus the wave packet go light waves propagates, without any
distortion, with velocity, the velsal'y of light.
ولكن الذي يعنينا هنا انتشار موجات، يفترض أنها تُعبر عن جسيمات، في
هذه الحالة لن نستطيع استخدام العلاقة.
w = kc ... (2-13)
W (k) = kc
لاحظ هذه العلاقة صحيحة فقط في حالة انتشار حزمة ضوء موجية في
الفضاء. ولكي تنطبق دراستنا على انتشار حزمة موجية (جسيم) يلزم استخدام
w =(k)¹ kc or kv حيث w (k) العلاقة العلامة ل
2) بالصيغة. - في هذه الحالة نعيد كتابة معادلة ( 11
ò = -
-
ik (v ct)
1 f (x t) dk g (k) e
ik (v ct)
لتصبح في حالة جسم حر الحركة
=dk g(k) eikv - iw (k)t ..........(2 -14)
ولكن خذ ،w (k) لاحظ أننا لم نعرف بعد الصيغة الحقيقية لطبيعة الدالة
.u في فضاء k° الآن حزمة موجية متمركزة ومتحبزة جداً حول
ستكون كبيرة. هذا قد لا يعني أن g (k)=e-α(k-k° ) في العلاقة 2 a هذا يعني أن
ولكن هذا التقريب سيسهل حساباتنا. v ستكون متحبزة في فضاء f (x)
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
- ٥٤ -
لا w (k) مع افتراض أن k° 2) متمركز حول - بما أن التكامل في ( 14
.k تتغيره بشدة مع تغير
) ............(2 15)
dk
(k k ) (d w(k)
2
) 1
dk
w(k) w(k ) (k k ) (dw(k) 2 k
2
2
k @ + - + - -
° ° ° ° °
)k = k° الحد الثاني .k ثابت لأنه لا يعتمد على w (k° ) الحد الأول
dk
يمثل سرعة (dw
كما شرحنا في التمهيد- هي السرعة التي تسير -group velocity المجموعة
بها الحزمة الموجية.
(2-16)
) β
dk
(d w
2
1
and
( )
2 k k
2
=
Þ =
= °
= ° vg
dk
dw
k k
بافتراض أن:
dk dk
k k k
1
1
Þ =
= - °
فإن الحزمة الموجية تعتمد على الزمن بالصيغة.
ò
¥
-¥
úû ù
êë é
= - + ° - ° + + 1 αk12 i (k1 k ) v i w (k ) k1vg k12β t
1 f (x t) dk e e
خذ الحدود الثابتة خارج التكامل.
ikov iw(k )t 1 αk12 ik1(v vgt) ik12βt
αk12 ik1v. ik1vgt. ik12βt
ik v iw(k )t dk1
e dk e e e
e e . e e e
- - -
¥
-¥
- °
- - -
¥
-¥
° - °
= ò
ò
=
........(2-17)
وبنفس الطريقة التي أجريناها في الحالة الأولى، يمكن عمل التكامل عن
طريق إكمال المربع في الأس، خذ الأس فقط.
e αk12 ik1 (v μgt) ik12βt e (α iβ t ) k12 ik1 (v μgt) - + - - = - + + -
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
- ٥٥ -
عامل مشترك. -(α + iβ t) خذ
ú ú
û
ù
ê ê
ë
é
=
-
- + -
= (α i βt )
1 (v νgt) (α iβ t) k12 ik
e
للحصول على مربع كامل نطرح ونضيف الحد.
4(α iβ t)
(v ν t)2
g
+
-
4(α iβ t)
t)2 ( x vg
4(α iββ)
t)2 (x vg
α iββ
12 iu1(u vgt) (α iβ t) u
e
+
-
-
+
-
+
ú ú ú
û
ù
ê ê ê
ë
é
+
-
- + -
خذ هذه الإشارة مشترك مع الحد الأول
e ............(2 18)
e
(α iβ t)
t)2 ( x vg
4
1
2
2( α iβ t
1 i (u vgt) (α iβ t) k
4(α iβ t)
t)2 ( x vg
4 (α iββ)
t)2 (u vg
α iβ t
12 ik1(u vgt) (α iβ t) k
-
Þ
+
-
+
ú ú
û
ù
ê ê
ë
é
+
-
- + -
+
-
-
ú ú ú
û
ù
ê ê ê
ë
é
+
-
-
+
-
- + -
2) نتحصل على: - 2) في ( 17 - بتعويض ( 18
2(α β2t2/ αα(α2 β2t 2)
t)2 (v ug
2 2 2
)
α2 β2t2
( 2α
2
t)2 (v ug
4 (α iβ t)
t)2 ( v ug
4(α iβ t)
t)2 (v ug
1
*
1
2
1
4 (α iβ t)
t)2 (x ug
i (u x w(k ) t
1
2
2( )
1 ( ) ( )
4 ( ) 1
( )2
( ( )
4( )
( )2
2
2( )
1 ( ) ( )
( ( ) ) 1
1
e
(α β t )
1. e
(α iβ t ) (α iβ t)
f (x t) f (n t)f (x t) e .e
(α iβ t)
f (x t) e e
( )
+ +
-
-
+
-
-
-
-
-
+
-
-
°
+
- -
° - °
ú úû
ù
ê êë
é
+
-
¥ - + -
-¥
+
-
-
° - °
¥
-¥
+
-
-
ú ú
û
ù
ê ê
ë
é
=
-
- + -
° - °
=
úû
ù
êë
é
+ ú
ú
ú
û
ù
ê ê ê
ë
é
=
+ -
= =
+
=
=
=
ò
ò
D
D
D D
D
14444244443
14243
i t
i x ugt
i t k
i t
x ygt
i k x w k t
ابت ھذا الحد ثابت
i t
x vgt
i t
v gt
i t k
i k x w k t
e e dk e
f x t e dk e e
a b
a b
a b
a b a b
m
a b
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
- ٥٦ -
. a بقسمة الأس في البسط والمقام على
(2- 2) ب ( 5 - بمقارنة الصيغة في ( 19
ïþ
ïý ü
ïî
ïí ì
=
-
2α
v2
2 e
α
f ( x ) D
a و (v-ug t) 2) تغيرت ل - في ( 5 v نجد أن هناك تماثل مع ملاحظة أن
α تحولت ل
α β t
2 2
+
ولهذا فإن 2
1 ولكن عرض ug تمثل حزمة موجية تسير بسرعة f (x t )
.(2- هذه الحزمة غير محدد ولكن يتغير مع الزمن، لاحظ أن عرض الدالة ( 19
) ...............(2 20)
α
Δv 8α (1 β t
or
Δv 2.Δv 2. 2(α β t /αα
2
1
2
2 2
2 2
= + -
= = + °
2) يتضح أن عرض الدالة يزداد مع الزمن أي أن الدالة - من المعادلة ( 20
t = تنبسط مع مرور الزمن وذلك مقارنة بعرضها عند 0
Δv = ( t = 0) = 8α
2) إن معدل - أما عند أي زمن آخر فإن عرض الدالة يعطي بالصيغة ( 20
كبيرة أي إذا كانت الدالة منبسطة a الانبساط في الدالة سيكون صغيراً إذا كانت
كثيراً عند البداية.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
» انواع دايود الليزر
» ماهو الغشاء الرقيق؟
» حروف تدل على شخصية المراة ؟؟
» خاطرة ...!
» قصة .. توقف لسانه عن الكلام عندما علم أنها ابنة 17 سنة
» شاب يخاطب المساجد ...!!!! كم هو جميل ..؟؟!!!
» حدث في 25 سبتمبر
» حدث في 16 شوال